广义相对论的建立与早期验证

一、 数学基础：从欧几里得到黎曼

1. 欧几里得几何的局限

• 平行公理：过直线外一点，能且只能引一条直线与已知直线平行。
• 历史挑战：数学家们长期尝试从其他公理推导此公理，未获成功。

2. 非欧几何的诞生

• 罗巴切夫斯基几何 (罗氏几何)：
  • 假设：过直线外一点，可以引两条以上的直线与已知直线平行。
  • 对应空间：负曲率空间（如伪球面）。
  • 命运：其论文被俄国科学院拒绝，仅发表于《喀山大学学报》，长期未获主流认可。
• 黎曼几何 (黎氏几何)：
  • 假设：过直线外一点，一条平行线也引不出来。
  • 对应空间：正曲率空间（如球面）。
  • 发展：黎曼将不同几何统一，发展为黎曼几何，成为描述弯曲空间的数学工具。

3. 几何类型总结

1. 欧氏几何：描述零曲率空间（平面）。
2. 罗氏几何：描述负曲率空间。
3. 黎氏几何：描述正曲率空间。

二、 广义相对论的创立

1. 关键人物与过程

• 爱因斯坦：核心创立者。
• 格罗斯曼：协助爱因斯坦引入并掌握黎曼几何这一关键数学工具。
• 希尔伯特：与爱因斯坦讨论，加速了正确场方程的发现，但最终成果归属爱因斯坦。

2. 核心方程与概念

• 爱因斯坦场方程：描述了物质的存在如何决定时空的弯曲。
• 测地线方程：描述了在弯曲时空中，自由质点（作惯性运动）的轨迹。它是直线概念在弯曲时空中的推广。
  • 示例：地球绕太阳的运动，在四维时空中是沿着测地线的螺旋线，而非三维空间中的简单椭圆轨道。

三、 广义相对论的三大经典验证

1. 引力红移

• 定义：时空弯曲导致时钟变慢，弯曲越厉害，钟走得越慢。
• 验证方法：比较太阳表面氢原子光谱线与地球实验室光谱线。太阳引力场更强（时空更弯曲），其光谱线频率变小（波长变长），向红光端移动。
• 结果：观测证实存在引力红移，但受太阳风、多普勒效应等干扰，早期测量精度有限。

2. 水星近日点进动

• 现象：根据牛顿力学，水星绕日轨道应是封闭椭圆。但实际观测发现，其椭圆轨道的近日点每绕一圈都会向前移动（进动）。
• 未解之谜：扣除其他行星摄动、岁差等所有已知牛顿效应后，仍有 每百年43角秒 的进动无法解释。
• 广义相对论预言：精确计算出这额外的每百年43角秒进动，与观测完美吻合。

3. 光线在引力场中的偏折

• 原理：太阳质量导致周围时空弯曲，使经过太阳附近的星光路径发生偏折。
• 理论预言对比：
  • 牛顿万有引力：将光视为有质量的粒子，预言偏转角为 0.875角秒。
  • 广义相对论：预言偏转角为 1.75角秒（是牛顿值的两倍）。
• 1919年爱丁顿实验：利用日全食观测太阳背后恒星位置，测得偏转角（1.61-1.98角秒）更接近广义相对论预言，从而支持了新理论。
• 现代精度：后续测量（如1975年无线电波观测）结果与1.75角秒的理论值高度吻合。

四、 现代验证与应用：GPS系统

• 原理：GPS卫星钟与地面钟速率不同，是狭义相对论（运动钟变慢）与广义相对论（引力强处钟变慢）效应共同作用的结果。
• 验证：对这两种相对论效应进行修正后，GPS定位系统才能精确工作，这间接验证了广义相对论。

总结

广义相对论是爱因斯坦在黎曼几何的数学基础上创立的，它革新了人们对引力本质的认识——引力是时空弯曲的几何效应。该理论通过引力红移、水星近日点进动、光线偏折三大经典实验以及现代GPS系统的应用得到了强有力的验证。爱因斯坦本人也认为，广义相对论是其比狭义相对论更深刻、更独特的贡献。