量子力学实验的数学解释与核心概念

一、 三个关键实验及其数学解释

1. 实验一：自旋通过Z方向磁场

• 实验现象：一个自旋粒子通过Z方向磁场后，分裂成两束（等概率向上和向下）。
• 数学描述（初始状态）：
  • 由于实验结果是等概率的，可以反推初始的密度矩阵为：
    $$ \rho = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} $$
  • 此时，与经典概率论的描述完全一致。

2. 实验二：Z方向筛选后，再次通过Z方向磁场

• 实验步骤：
  1. 自旋通过第一个Z方向磁场，分裂为向上和向下两束。
  2. 将向下的部分挡住（相当于一次测量，记录结果为“向上”）。
  3. 仅让向上的部分通过第二个Z方向磁场。
• 测量后状态的计算：
  • 测量记录为“Z向上”，对应本征态 $ |1\rangle $。
  • 测量后状态的计算公式：$ \rho' = |1\rangle \langle 1| \rho |1\rangle \langle 1| $。
  • 代入 $\rho$ 后，得到筛选后的状态为：$ \rho' = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix} $。
• 预测第二个磁场的结果：
  • 计算可观测量 $\sigma_z$（泡利Z矩阵）在状态 $\rho'$ 下的期望值：
    $$ \langle \sigma_z \rangle = \text{Tr}(\sigma_z \rho') = 1 $$
  • 由于 $\sigma_z$ 的本征值只有 $+1$（向上）和 $-1$（向下），期望值为1意味着测量结果以100%的概率为向上。
  • 结论：在第二个Z方向磁场后，只有一个输出（向上）。此结果可以被经典理论（筛选后性质不变）和量子理论共同解释。

3. 实验三：Z方向筛选 → X方向筛选 → Z方向测量

• 实验步骤：
  1. 自旋通过Z方向磁场，挡住向下的部分，得到状态 $\rho' = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$（Z向上纯态）。
  2. 让该状态通过X方向磁场，并再次挡住“X向下”的部分（测量记录为“X向上”）。
  3. 让筛选后的状态最后通过一个Z方向磁场。
• 第二次测量（X方向）后的状态：
  • “X向上”对应的本征态为：$ |+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle + |1\rangle) $，在计算中简化为 $ \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} $。
  • 应用测量后状态公式：$ \rho'' = |+\rangle_x \langle+| \rho' |+\rangle_x \langle+| $。
  • 计算结果为：$ \rho'' = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 \end{pmatrix} $。
• 最终Z方向测量的预测：
  • 计算 $\sigma_z$ 在 $\rho''$ 下的期望值：
    $$ \langle \sigma_z \rangle = \text{Tr}(\sigma_z \rho'') = 0 $$
  • 期望值为0意味着，最终测量 $\sigma_z$ 得到+1和-1的概率各为50%。
  • 结论：在最后一个Z方向磁场后，再次出现了两个输出（向上和向下）。
  • 关键：这个结果无法用经典理论解释（因为向下态在第一步已被永久剔除），但量子理论可以自然地解释。

二、 量子理论的核心：状态叠加原理

实验三得以解释的关键在于状态叠加原理（或称“矢量可加性”）。

• X方向向上的本征态 $ |+\rangle_x $，可以表示为Z方向本征态的线性叠加：
  $$ |+\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle_z + |1\rangle_z) $$
  • 其中 $|0\rangle_z$ 对应Z向下（矩阵表示 $\begin{pmatrix}0 \ 1\end{pmatrix}$），$|1\rangle_z$ 对应Z向上（矩阵表示 $\begin{pmatrix}1 \ 0\end{pmatrix}$）。
• 核心洞见：正是由于允许量子态像矢量一样进行线性叠加（即一个状态可以“包含”另一个方向的本征态成分），所有奇异的量子现象（如实验三）才得以解释。

三、 量子力学基本公式总结

1. 期望值计算：对于一个可观测量 $A$（算符）和系统状态 $\rho$（密度矩阵），测量 $A$ 的期望值为：
   $$ \langle A \rangle = \text{Tr}(A \rho) $$

2. 测量后状态：如果对状态 $\rho$ 进行测量，并得到结果为对应算符 $M$ 的本征态 $|m\rangle$，则测量后的系统状态变为：
   $$ \rho' = |m\rangle \langle m| \rho |m\rangle \langle m| $$

3. 状态演化：系统随时间的演化由薛定谔方程或演化算符 $U(t)$ 描述：
   $$ |\psi(t)\rangle = U(t) |\psi(0)\rangle \quad \text{或} \quad i\hbar \frac{d}{dt} |\psi\rangle = H |\psi\rangle $$
   （注：本课程主要理解概念，不深入运用此公式。）

4. 与经典概率论的根本区别：

   • 经典概率：不同状态（如“Z向上”和“Z向下”）是互斥的，概率直接相加。
   • 量子力学：状态是矢量，可以叠加（内积可以不为零）。“状态可加性”是量子理论区别于经典理论最核心的特征。上述三个公式在经典概率框架下也有类似物，但缺少“叠加性”这一灵魂。

总结

本讲通过三个逐步复杂的自旋实验，展示了量子力学数学框架如何解释经典理论无法说明的现象（特别是实验三）。其核心在于引入了状态叠加原理，即量子态具有矢量结构，可以线性组合。在此基础上，掌握了计算可观测量的期望值（$\langle A \rangle = \text{Tr}(A\rho)$）和测量后状态（投影公式）的基本方法。量子力学与经典概率论的根本差异，不在于这些公式的形式，而在于是否允许状态作为矢量进行叠加。