量子纠缠与双自旋系统课程笔记

一、量子状态演化

1.1 演化算符概述

• 演化算符：描述量子系统随时间的演变。
• 能量函数：给定一个能量函数（哈密顿量），可计算每个量子状态对应的能量。
• 能量本征态：系统在特定能量下的状态，每个状态具有由其能量决定的振动频率（周期）。
• 演化机制：系统状态由各能量本征态按自身频率叠加而成，随时间变化。

1.2 示例：双自旋系统的能量

• 考虑两个自旋的相互作用，能量函数为：
  [
  H = \sigma*{1z} \otimes \sigma*{2z}
  ]
  • 当两个自旋同向（都向上或都向下），能量为 +1。
  • 当一个向上、一个向下，能量为 -1。
• 不同能量对应不同演化频率，导致状态间的“竞争”。

1.3 演化算符的作用

• 通过演化算符，初始独立的状态可能演化为叠加态，包括纠缠态。
• 演化算符的数学形式：
  [
  \rho(t) = U(t) \rho(0) U^\dagger(t)
  ]
  其中 (U(t)) 为演化算符，(\rho) 为密度矩阵。

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二、量子力学基本框架总结

2.1 状态描述

• 量子状态由密度矩阵 (\rho) 描述。
• 密度矩阵通常包含非对角元素，表示量子相干叠加。

2.2 物理量测量

• 物理量由算符 (A)（矩阵）表示。
• 测量平均值：
  [
  \langle A \rangle = \text{Tr}(A \rho)
  ]
  即先计算 (A \rho)，再求迹（对角元和）。

2.3 测量后状态更新

• 若测量结果为某个本征态 (|M\rangle)，则测量后的状态为：
  [
  \rho' = \frac{|M\rangle \langle M| \rho |M\rangle \langle M|}{\text{Tr}(|M\rangle \langle M| \rho)}
  ]
  这保证了测量结果与状态的一致性。

2.4 理论验证

• 演化算符通常由物理假设（猜測）提出，再通过实验预测与结果对比验证。
• 量子力学的数学工具（如非对易代数）在提出前已由数学家发展，并非完全凭空猜想。

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三、双自旋系统的状态

3.1 经典双硬币系统

• 状态为四个基本组合：上上、上下、下上、下下。
• 用对角密度矩阵表示：
  [
  \rho*{\text{classical}} = \begin{pmatrix}
  p*{11} & 0 & 0 & 0 \
  0 & p*{10} & 0 & 0 \
  0 & 0 & p*{01} & 0 \
  0 & 0 & 0 & p*{00}
  \end{pmatrix}
  ]
  其中 (p*{ij}) 为对应组合的概率。

3.2 量子双自旋系统

• 每个自旋为二维系统，双自旋状态为 (4 \times 4) 密度矩阵。
• 若两自旋独立，总密度矩阵为两子系统的直积（张量积）：
  [
  \rho = \rho1 \otimes \rho_2
  ]
  对应概率乘法定律：(p{ij} = p_i \cdot q_j)。

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四、经典关联态

4.1 定义与示例

• 经典关联态：两个子系统状态完全相关。
  • 例如：第一个硬币向上时，第二个必向上；第一个向下时，第二个必向下。
• 密度矩阵形式（以等概率为例）：
  [
  \rho_{\text{correlated}} = \frac{1}{2}|11\rangle\langle11| + \frac{1}{2}|00\rangle\langle00|
  ]
  非关联项（(|10\rangle, |01\rangle)）概率为零。

4.2 特性

• 观测一个子系统即可推断另一个的状态。
• 这种关联是数学上的，无需时间传播，也无需物理相互作用。

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五、量子纠缠态

5.1 定义与构造

• 纠缠态：特殊的量子叠加态，具有超越经典的关联特性。
• 示例：贝尔态（Bell state）之一：
  [
  |\Psi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|11\rangle + |00\rangle)
  ]
  对应密度矩阵：
  [
  \rho_{\text{entangled}} = |\Psi^+\rangle\langle\Psi^+|
  ]
  包含非对角元素，表示量子相干。

5.2 核心特性：坐标变换不变性

• 对上述纠缠态进行基矢变换（如从 Z 方向转到 X 方向），其关联形式保持不变。
  • 在 X 基下仍为：(|\uparrow_x\uparrow_x\rangle + |\downarrow_x\downarrow_x\rangle)。
• 关键性质：在任何方向（坐标系）下测量，两个自旋均呈现完全关联。
  • 测得第一个自旋为某方向向上，则第二个必为同方向向上。

5.3 与经典关联的区别

• 经典关联态仅在某特定基下关联，无法经坐标变换保持形式。
• 纠缠态在所有基下均保持关联，这是量子叠加原理的结果。

5.4 产生纠缠的方法

1. 动力学演化：设计合适的相互作用哈密顿量，使系统在特定时刻演化至纠缠态。
2. 测量选择：通过测量筛选出关联态，丢弃不关联的部分。

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六、量子态远程传输简介

• 基于纠缠态的关联特性，可实现量子信息的远程传输（量子隐形传态）。
• 具体原理需进一步学习双系统量子力学及纠缠态应用。

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总结

• 量子演化由演化算符描述，能量本征态决定系统随时间演变。
• 量子力学框架包含状态（密度矩阵）、测量（算符与平均值）、测量后更新及演化五要素。
• 双自旋系统的状态可为经典关联（仅对角元）或量子纠缠（含非对角元）。
• 经典关联态限于特定基下的数学关联。
• 量子纠缠态具有坐标变换下的关联不变性，是所有基下的完全关联，是量子叠加的独特现象。
• 纠缠可通过演化或测量产生，是量子信息处理（如远程传输）的核心资源。