量子力学中的“Which Way”实验分析
量子力学中的“Which Way”实验分析
一、实验背景与经典、量子逻辑的冲突
- 实验设置：光子依次通过45°偏振片、0°偏振片（分束）、反射镜（重新聚合）、45°偏振片。
- 经典逻辑预测：
- 概率路径追踪：光子要么走上路径，要么走下路径，最终应有两个输出。
- “等效未操作”逻辑：0°偏振片分束后重新聚合，相当于未对偏振态进行操作，初始45°偏振光应完全透过最后的45°偏振片，即只有一个输出。
- 实验事实：观测到只有一个输出。
- 核心问题：经典概率论预测与实验结果不符，需用量子力学框架解释。
二、量子力学计算（无探测器情形）
使用量子态（右矢与左矢）和密度矩阵进行计算。
1. 初始态
光子通过第一个45°偏振片后的态为：
[
\rho = |45\rangle\langle 45|
]
其中，45°偏振态可分解为：
[
|45\rangle = |0\rangle + |90\rangle
]
因此，
[
\rho = (|0\rangle + |90\rangle)(\langle 0| + \langle 90|) = |0\rangle\langle 0| + |90\rangle\langle 90| + |0\rangle\langle 90| + |90\rangle\langle 0|
]
- 关键点：展开后包含非对角项（如 (|0\rangle\langle 90|)），这是量子相干性的体现，区别于经典概率混合（仅含对角项 (|0\rangle\langle 0|) 和 (|90\rangle\langle 90|)）。
2. 通过0°偏振片（分束）
0°偏振片使光子按偏振方向分束：
- 0°偏振分量 → 路径1
- 90°偏振分量 → 路径2
态变为（不展开）：
[
\rho' = (|0\rangle_1 + |90\rangle_2)(_1\langle 0| + _2\langle 90|)
]
3. 反射镜聚合后
两路径在出射点O重新聚合，路径信息消失，态演变为：
[
\rho'' = (|0\rangle_O + |90\rangle_O)(_O\langle 0| + _O\langle 90|) = |45\rangle_O\langle 45|_O
]
聚合后态恢复为45°偏振态。
4. 通过最后一个45°偏振片
计算透射概率（取迹）：
[
\text{Prob} = \text{tr}(|45\rangle\langle 45| \cdot \rho'' ) = \langle 45|45\rangle = 1
]
结论：最终只有一个输出（透射），与实验结果一致。量子相干性（非对角项）保证了路径的不可区分性，导致干涉。
三、量子力学计算（有探测器情形）
在0°偏振片后的两条路径上分别放置探测器D1和D2。
1. 分束后（带探测器）
态变为：
[
\rho'_{\text{det}} = (|0\rangle_1|D1\rangle + |90\rangle_2|D2\rangle)(_1\langle 0|\langle D1| + _2\langle 90|\langle D2|)
]
探测器状态成为系统态的一部分。
2. 聚合并对探测器态做部分迹（Partial Trace）
聚合后态（保留探测器信息）：
[
\rho''{\text{det}} = (|0\rangle_O|D1\rangle + |90\rangle_O|D2\rangle)(_O\langle 0|\langle D1| + _O\langle 90|\langle D2|)
]
对探测器自由度求部分迹（相当于忽略/求和掉探测器具体读数）：
[
\rho''{\text{reduced}} = \text{tr}{D1,D2}(\rho''{\text{det}}) = |0\rangle\langle 0| + |90\rangle\langle 90|
]
关键变化：非对角项消失！态变为经典概率混合（零度与90度偏振的等概率混合）。
3. 通过最后一个45°偏振片
计算透射（45°方向）与反射（135°方向）的概率：
- 透射概率：(\langle 45|\rho''_{\text{reduced}}|45\rangle \neq 0)
- 反射概率：(\langle 135|\rho''_{\text{reduced}}|135\rangle \neq 0)
结论：此时出现两个输出。探测器的引入使得路径变得原则上可区分，破坏了量子相干性。
四、核心概念总结
1. 量子理论的核心：状态的可加性（相干性）
- 数学表述：态矢量可线性叠加（如 (|0\rangle + |90\rangle)），其密度矩阵包含非对角项。
- 对应概念：叠加原理、相干性、量子概率。
- 与经典概率混合的区别：
- 量子叠加：(\rho = |\psi\rangle\langle\psi|)，含非对角项。
- 经典混合：(\rho_{\text{classical}} = p_1|1\rangle\langle 1| + p_2|2\rangle\langle 2|)，仅含对角项。
2. 量子与经典描述的选择判据
- 使用量子叠加（矢量加法）的条件：各个可能性在原则上不可区分。
- 使用经典概率混合的条件：各个可能性由于信息不全而未知，但原则上是可区分的。
- 关键操作：引入经典信息（如探测器）会使系统退相干，将量子叠加转变为经典混合。
3. 量子力学的解释力
通过简单的几条规则：
- 态用右矢/左矢描述，可线性叠加。
- 密度矩阵 (\rho = |\psi\rangle\langle\psi|)。
- 观测量均值：(\langle A \rangle = \text{tr}(A\rho))。
- 测量后状态更新。
- 对子系统求部分迹。
即可统一解释包括Stern-Gerlach实验在内的多种量子现象。
总结
本次课程通过分析光子“Which Way”实验，清晰地展示了：
- 量子相干性（态矢量叠加与非对角项）如何导致干涉，使无探测器时仅有一个输出，与实验相符。
- 测量（或获取经典信息）的破坏性：探测器的引入使路径变得可区分，破坏了相干性（非对角项消失），结果退化为经典概率预测的两个输出。
- 量子力学形式体系的有效性：仅用少数核心公式（态叠加、密度矩阵、求迹、部分迹）即可统一描述和预测实验现象，其成功源于对状态“原则上不可区分性”的数学表述。